Pochází z muzikantské rodiny, jeho otec Josef Špaček je violoncellistou České filharmonie, mladší bratr Petr Špaček je rovněž violoncellistou.
Hře na housle se věnuje od svých šesti let. Jeho prvními kantory byli Hana Metelková, Pavel Prantl, na Pražské konzervatoři pak Jaroslav Foltýn. Již po prvním roce na konzervatoři byl přijat na prestižní školu Curtis Institute of Music ve Filadelfii, kde studoval v letech 2004–2009 u prof. Idy Kavafiana, v letech 2004–2006 ve třídě Jaimeho Lareda, v roce 2007–2008 u prof. Shmuela Askhenasiho. Od svých 13 let se zúčastnil též mnoha hudebních houslových kurzů pod vedením Stephena Shippse, R. Ricciho, Milana Vítka, Václava Hudečka a Bohuslava Matouška.
Od září 2009 pokračoval ve svých studiích na Juilliard School v New Yorku ve třídě Itzhaka Perlmana, která dokončil v květnu 2011. V červnu 2011, kdy mu bylo dvacet tři let, se stal nejmladším koncertním mistrem v historii České filharmonie.Stálé angažmá ukončil v sezóně 2019/2020 a následně zůstal hostujícím koncertním mistrem českého tělesa.
Již od dětství účinkoval na koncertech a festivalech. Spolupracoval s dirigenty Christophem Eschenbachem, Manfredem Honeckem, Jiřím Bělohlávek, Ondrejem Lenárdem, Ondřejem Kukalem, Jurim Gilbem, František Preisslerem, Jakubem Hrůšou, Andreasem Weiserem, Aleksandarem Markovičem, Jaroslavem Krčkem a dalšími. Jako sólista účinkoval s orchestry Philadelphia Orchestra, Českou filharmonií, Pražskou komorní Filharmonií, Filharmonií Bohuslava Martinů Zlín, Filharmonií Hradec Králové, Českým komorním orchestrem, Komorní filharmonií Pardubice, Filharmonickým komorním orchestrem, Ruským komorním orchestrem St. Petersburg, komorním orchestrem Berg, s Filharmonií Brno i souborem Barocco sempre giovane.
Vystupoval na pódiích v Dánsku, Finsku, Německu, Anglii, Francii, USA, Švýcarsku, Japonsku, Polsku a Novém Zélandu. V roce 2007 se Josef zúčastnil jako koncertní mistr New York String Orchestra Seminar, kde vystoupil na dvou koncertech v Carnegie Hall, v roce 2009 zde účinkoval jako koncertní mistr Curtis Orchestru.
V roce 2006 vydal svoje debutové CD s uceleným kompletem šesti Ysayových sonát pro sólové housle, op. 27. V roce 2010 nahrál společně s pianistou Gordonem Backem kompletní CD s díly Heinricha Wilhelma Ernsta, které vydala nahrávací společnost Naxos v roce 2013. V dubnu 2013 vydal Supraphon Josefu Špačkovi nové CD se slovanskou hudbou. Na CD je zařazena sonáta Leoše Janáčka, Duo Z domoviny Bedřicha Smetany a dvě sonáty Sergeje Prokofjeva: jedna pro sólové housle a druhá pro housle a klavír.
